Некоторые следствия из аксиом

Урок 3. Некоторые следствия из аксиом

Мы познакомимся со следствиями из аксиом стереометрии и их доказательствами, применим  эти свойства  при решении задач.

Их мы сформулируем в виде теорем.

`

Первое  следствие из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 1. Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:

прямая a

точка A не принадлежащая  на прямой a

Доказать: Существует единственная плоскость b , проходящая через прямую  a и точку A

Доказательство

1. Докажем существование плоскости.

Отметим на прямой a любые две точки B и C.

Так как три точки A, B, C не лежат на одной прямой, то  существует плоскость b, проходящая через эти точки. Это следует из аксиомы А1.

Так как две точки B и C прямой a  принадлежат плоскости b, то плоскость b проходит через прямую a (по аксиоме А2).

Итак, плоскость b проходит через прямую a и точку A.

b– искомая плоскость.

2) Докажем единственность плоскости.

Любая плоскость, проходящая через прямую a и точку A проходит через три точки: B, C и A.

Мы знаем, что через три точки проходит единственная плоскость. Это следует из аксиомы А1.

Поэтому плоскость  совпадет с плоскостью α.

Теорема доказана.

Второе следствие из аксиом.

 Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:

Прямые a и b, пересекающиеся в точке A.

Докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна

Доказательство.

1. Докажем, что такая плоскость существует.

На прямой b отметим произвольную точку B, отличную от A.

Через точку B и прямую a мы можем провести плоскость  . По первой теореме.

Так как две точки A и B прямой b  принадлежат плоскости a, то плоскость   проходит через прямую b.

Получается, плоскость a проходит через обе прямые.

a– искомая плоскость.

1. Теперь докажем, что такая плоскость единственная.

Допустим противное: существует другая  плоскость, например плоскость b, которая проходит через прямые a и b.

Тогда плоскость β должна проходить  и через точку B.

Через прямую a и  точку B  проходит единственная плоскость (по теорема 1). Поэтому плоскость β совпадает с плоскостью α.

Противоречие. Мы предполагали, что плоскости разные.

Значит, исходное предположение неверное. Плоскость a– единственная.

Теорема доказана.

Перейдем к решению задач.

Мы можем опираться, пока, на три аксиомы, две теоремы, которые доказали и все факты планиметрии.

Задача 1.

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.

Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

Ответ обоснуйте.

Решение.

Если  AB и CD   пересекаются, то через них можно провести плоскость (2 следствие из аксиом).

Тогда все точки будут в одной плоскости, а это противоречит  условию задачи.

Ответ: Нет

Задача 1.

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.

Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

Ответ обоснуйте.

Решение.

Если  AB и CD пересекаются, то через них можно провести плоскость (2 следствие из аксиом).

Тогда все точки будут в одной плоскости, а это противоречит условию задачи.

Ответ: Нет

Задача 2.

Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости;

Решение

Вся окружность может не лежать в плоскости, в которой лежат две ее точки.

Приведем пример.

На экране вы видите окружность, две точки которой принадлежат плоскости  

, но вся окружность не лежит в этой плоскости.

Ответ: Нет.

Задача 3.

Верно ли утверждение: если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит  в этой плоскости?

Пусть три данные точки A, B и C окружности лежат в некоторой плоскости a.

Так как любые три точки окружности A, B, C не лежат на одной прямой, то, согласно аксиоме A1, через A, B и C проходит единственная плоскость a.

Окружность плоская фигура, все ее точки лежат в одной плоскости.

Поскольку в этой же  плоскости лежат точки A, B, C, то она совпадет с плоскостью  

Итак, вся окружность лежит  в плоскости, в которой лежат три ее точки.

Ответ: Верно.

Задача 2.

Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости;

Решение

Вся окружность может не лежать в плоскости, в которой лежат две ее точки. Это наглядно видно из примера

Ответ: нет.

Задача 3.

Пусть (A,B,C) принадлежат a  

Так как любые три точки окружности A, B, Cне лежат на одной прямой, то, согласно аксиоме A1, через A, Bи C проходит единственная плоскость.

Окружность плоская фигура, все ее точки лежат в одной плоскости.Поскольку в этой же  плоскости лежат точки A, B, C, то она совпадет с плоскостью  

Итак, вся окружность лежит  в плоскости, в которой лежат три ее точки.

Ответ: Верно.

Задача 4. Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Дано:

Две прямые a и b пересекаются в точке M.

Некоторая прямая cпересекает прямые aи bв точках A и B.

Прямая d проходит через точку M

Доказать, что прямые a, b, cлежат в одной плоскости.

Определить, лежат ли в одной плоскости a, b, d.

Решение.

Так как прямые a b пересекаются, то существует плоскость  , проходящая через эти прямые. Это 2 следствие аксиом.

Две точки A и Bлежат в плоскости  , поэтому прямая ABлежит в плоскости   (аксиома А2).

Так как с и AB –  обозначения одной и той же прямой, то прямая c лежит в плоскости  .

Получается, что все прямые лежат в одной плоскости  

Что и требовалось доказать.

2.

Все прямые, проходящие через точку M, не обязательно лежат в плоскости a.

По аксиоме А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости, а у нас в плоскости альфа лежит только одна точка М

Это наглядно показано на примере.

Прямая d проходит через точку M, но не лежит в плоскости a.

Задача 4. Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точкуM и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?