Площадь поверхности цилиндра

Поговорим о площади поверхности цилиндра

Поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности, и оснований цилиндра, которые представляют собой два круга.

Длина  образующей боковой поверхности  называется высотой цилиндра (АВ), а радиус основания - радиусом цилиндра.

АВ–образующая цилиндра

r–радиус цилиндра  (на рисунке обозначить маленькой буквой)

Попробуем разрезать боковую поверхность нашего цилиндра по образующей АВ так, чтобы все образующие оказались в плоскости α.

В результате в плоскости α получился прямоугольник ABCD. Этот прямоугольник представляет собой развертку боковой поверхности цилиндра.

Сторона AD – развертка окружности основания цилиндра, а высота АВ — образующей цилиндра.

Значит, мы получаем:

АВ=h,  

AD=2πr (формула длины окружности)

где r — радиус окружности, h — высота цилиндра.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки, т.е.  площадь прямоугольника АВСD.

Вспомним! 

Площадь прямоугольника находится по формуле:

S_ABCD=АВ·AD

Поэтому, мы получаем:

S_бок = h

площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

AD–длинна окружности основания

АВ=h, AD=2πr

S_ABCD=АВ·AD

S_бок = h

Найдем  площадь полной поверхности цилиндра.

Цилиндр состоит из боковой поверхности и двух оснований.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади двух оснований и боковой поверхности.

Так как основания в цилиндре равны, то полная его площадь будет рассчитываться по формуле:
S_бок.=2πrh

S_осн.= πr²,

S_полн. =S_бок.+2S_осн.

S_полн. = 2πr(h + r)

S_бок.=2πrh

S_осн.= πr²,

S_полн. =S_бок.+2S_осн.

S_полн. = 2πr(h + r)

Полученные знания применим при решении задач.

Задача 1.

Трубка цилиндрической формы получается из прямоугольника. Вычислите радиус основания, если длина прямоугольника равна 16 см, ширина – 12см.

Решение:

Так как трубка получается из прямоугольника, то его длинна – это есть длина окружности.

Формула длины окружности:

С = 2πr

Значит,  C=ВС=16 см, 

Найдем радиус окружности: (отношение длины окружности к двум пи)

Задача 2.

Дано: цилиндр, ABCD-осевое сечение, АС=48 см, ACD= 60º.

Найти: а) СD — высота, б) АО — радиус,  в) S_осн.

Решение.

а)

1.Рассмотрим осевое сечение АВСD.

ABCD — прямоугольник (по условию), значит <ADС=90⁰ .

2. Рассмотрим  ∆ ADС:

   ACD= 60°(по условию),

ADС=90º(п.1),

 тогда СAD=30º

АС — гипотенуза, СD — катет, лежащий против угла в 30⁰.

Он равен половине гипотенузы

СD=АС:2=48:2=24 см.

б) Найдем АО.

АО – радиус основания цилиндра.

АD – диаметр основания цилиндра.

Дано: цилиндр, ABCD-осевое сечение, АС=48 см, ACD= 60º.

Найти: а) СD- высота, б) АО- радиус,  в) S_осн.

И в заключении!

А знаете ли Вы, что……

У отдельных изваяний, оставленных нам древнеегипетской культурой, можно  видеть зажатые в руках объекты цилиндрической формы, предназначение которых историкам непонятно.

В 1976 году в Закавказье обнаружена старинная  рукопись  «Тайны Жизни и Смерти», в которой содержалась информация о Лунном и Солнечном цилиндрах, изготовленных из цинка и меди с определенным внутренним наполнением.

Было установлено, что цилиндры Фараона, так они называются, обладают широчайшим спектром благотворного воздействия на организм человека.

В него входят: помощь при сердечно-сосудистых заболеваниях, нейротрофических, гипертонии, болезнях выводящих путей, астме, бессоннице, головных болях, а также в качестве средства для снятия стрессов и профилактики атеросклероза.

Согласно мнению ряда врачей, Цилиндры Фараона представляют собой уникальный, самонастраивающийся на каждого человека, физиотерапевтический прибор, созданный гением древнеегипетских ученых.

 

Исследования показали, что воздействие Цилиндров Фараона переводит организм в иное, более «высокое» энергетическое состояние, при котором активнее протекают восстановительные процессы, способствующие гармонизации всего организма.