Показательная функция, ее свойства и график

8.Показательная функция, ее свойства и график

Найдем значение выражения три в степени икс при различных рациональных значениях переменной х=2; 0; -3; -2/3; -2,2

Диктор	х	X в степени 3
при икс равном двум значение выражения будет равно девяти	2	3 в степени 2= 9
при икс равном нулю значение выражения будет равно единице	0	3 в степени 0=1
при икс равном минус трем значение выражения будет равно одна двадцать седьмая	-3
при икс равном минус двум третьим значение выражения будет равно единица, деленная на корень кубический из девяти	-2/3
при икс равном минус двум целым, двум десятым значение выражения будет равно единице, деленной на девять корней пятой степени из трех	- 2,2

 

 

Заметим, какое бы число вместо переменной икс мы не подставили, всегда можно найти значение данного выражения. Значит,  мы рассматриваем показательную функцию игрек равен три в степени икс), определенную на множестве рациональных чисел: .

Построим график  данной функции , составив таблицу ее значений.

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у	1/27	1/9	1/3	1	3	9	27

 

Отметим полученные точки на координатной плоскости.

Проведем плавную линию, проходящую через данные точки (рис 1)

Используя график данной функции, рассмотрим ее свойства:

1 Область определения – множество всех действительных чисел.

2.Не является ни четной, ни нечетной.

3.Возрастает на всей области определения.

4.Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

5.Ограничена снизу, но не ограничена сверху.

6.Непрерывна на всей области определения.

7. область значения от нуля до плюс бесконечности.

8. Функция выпукла вниз.

Если в одной системе координат построить графики функций игрек равен два в степени икс, игрек равен пять в степени икс, игрек равен семь в степени икс, то можно заметить, что они  обладают теми же свойствами, что и игрек равен трем в степени икс(рис.2), то есть такими свойствами будут обладать все функции вида игрек равен а в степени икс, при а большем единицы

Построим график функции 

1. Составив таблицу ее значений.

х	0	1	-1	2	-2	3	-1
у	1	1/3	3	1/9	9	1/27	27

 

Отметим полученные точки на координатной плоскости.

Проведем плавную линию, проходящую через данные точки ( рис 3).

Используя график данной функции, укажем ее свойства:

 Область определения – множество всех действительных чисел.

2.Не является ни четной, ни нечетной.

3.Убывает на всей области определения.

4.Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

5.Ограничена снизу, но не ограничена сверху.

6.Непрерывна на всей области определения.

7область значения от нуля до плюс бесконечности.

8. Функция выпукла вниз.

Аналогично, если в одной системе координат построить графики функций игрек равен одна вторая в степени икс, игрек равен одна пятая в степени икс, игрек равен одна седьмая в степени икс), то можно заметить, что они  обладают теми же свойствами, что игрек равен одна третья в степени икс(рис.4), то есть такими свойствами будут обладать все функции вида игрек = a в степени x, где a больше 1, но меньше 0

Построим в одной системе координат графики функций

значит, будут симметричны и графики функций игрек равен а в степени икс и игрек равен единице, деленной на а в степени икс при одном и том же значении а.

Обобщим сказанное,  дав определение показательной функции и указав ее  основные свойства:

Определение: Функция вида игрек равен а в степени икс, где а положительно и отлично от единицы, называют показательной функцией.

 Свойства:

диктор	A больше 0	A больше 0, но меньше 1
Область определения -  множество всех действительных чисел.
область значения от нуля до плюс бесконечности.
При а большем единицы, функция возрастает  на всей области определения. При а большем нуля и меньшем единицы функция убывает на всей области определения.	Возрастает	Убывает
Функция непрерывна на всей области определения.	Непрерывна	Непрерывна
	Рис.5	Рис.6

Пример1: Решите уравнение три в степени икс равно девяти

В одной системе координат построим два графика функции игрек равняется три в степени икс и игрек равняется девяти рис.7

Заметим, что они имеют одну общую точку М (2;9) (эм с координатами два; девять), значит,  абсцисса точки будет являться корнем данного уравнения.