Свойства корня n-й степени

3.Свойства корня n-ой степени

Для чего нужна данная тема?

Изучив свойства корня n-ой степени, вы научитесь быстро и правильно проводить операцию по извлечению корня.

Сформулируем и  докажем свойства только для неотрицательных значений переменных, находящихся под знаком корня.

Для наглядности оформим доказательство в виде таблицы:

Замечание 1: Данная теорема справедлива и когда подкоренным выражением является произведение более двух  неотрицательных чисел

 

Запомните, что каждая формула в алгебре выполняется в обе стороны, т.е. слева направо так и справа налево.

Чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

(четвертая степень корня энной степени из а равна произведению четырех корней энной степени из а, равно корню энной степени из произведения четырех а, равно корню энной степени из а в четвертой степени).

Заметим, что вместо K можно принять любое другое натуральное число.

Рассмотрим применение данных теорем.

(произведение корней третьей степени из эм, из эн и из эм равно корню третьей степени из произведения эм на эн и на эм равно корню третьей степени из произведения эн и квадрата эм)

(произведение корней третьей степени из эм, из эн и из эм равно  произведению корня третьей степени из эн на квадрат корня третьей степени из эм равно произведению корня третьей степени из эн на корень третьей степени из квадрата эм равно корню третьей степени из произведения эн и квадрата эм)

б)  (корень пятой степени из корня седьмой степени из а равен корню тридцать пятой степени из а, так как на основании теоремы 4: чтобы извлечь корень из корня нужно перемножить показатели корней)

Теорема 5: Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то значение корня не изменится:

Пример 6:Выполнить действия 

Для преобразования выражения воспользуемся теоремой 1 в обратном порядке: произведению корней энной степени равен корень энной степени из произведения.

Таким образом, получим: произведение корней 14 степени равно корню 14 степени из произведения эм в кубе, эм, эм в пятой степени и эм.

Согласно свойству степени, при умножении степеней их показатели складываются, а основание остается тем же

Применим теорему 5:  показатели корня и подкоренного выражения умножим или разделим на два