Предмет стереометрии

Урок №1. Предмет стереометрии

Геометрия – это наука, которая изучает свойства геометрических фигур.

Школьный курс геометрии подразделяется на два раздела:  планиметрию и стереометрию.

Планиметрия – раздел геометрии, который изучает свойства геометрических фигур на плоскости.

Планиметрию мы изучали в 7-9 классах.

В этом году мы начинаем изучать второй раздел геометрии - стереометрию

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур в пространстве.

Слово "стереометрия" происходит от греческих слов "стереос"  объемный, пространственный и "метрио"  измерять.

В стереометрии рассматриваются математические модели тех материальных объектов, с которыми имеют дело архитекторы, конструкторы, строители и другие специалисты.

Кроме того, школьный курс стереометрии служит основой для черчения и начертательной геометрии – важнейших дисциплин любого технического вуза.

Основные фигуры стереометрии

Итак, стереометрия изучает свойства геометрических фигур в пространстве.

Геометрических фигур в пространстве.

 называют телами.

В стереометрии мы будем изучать свойства геометрических тел, вычислять их площади и объемы.

При изучении пространственных фигур используются их изображение на чертеже.

Изображением пространственной  фигуры служит  ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает  различные изображения.

Обычно выбирают  то из них, которое наиболее удобно для исследования ее свойств.

На экране вы видите многогранники – куб,  параллелепипед и пирамида, тела вращения – шар, конус и цилиндр.

При изображении пространственных фигур невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями.

С чего начинается стереометрия?

Также как планиметрия.

Планиметрию мы начинали изучать с основных понятий, фигур и аксиом.

Основные понятия стереометрии

Во-первых, это точка и прямая, как в планиметрии. И еще добавляется плоскость.

Итак, основными понятиями стереометрии являются: тоска, прямая, плоскость. Они принимаются без определений.

Новым для нас понятием является плоскость.

Плоскость, как и прямая в планиметрии, бесконечна. Она простирается во все стороны на неограниченное расстояние.

Геометрическими моделями части плоскости являются, например, поверхность стола, доски и т. д.

Изображают плоскости в виде параллелограмма, либо в виде произвольной области.

Обозначение, которые мы будем применять.

Точки. Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами A, B, C ….

На экране изображены 4 точки. Они обозначены буквами A, B, C и D

Прямые. Прямые обозначают  строчными латинскими буквами  a, b, c …, или двумя прописными латинскими буквами AB, CD, …

Во втором случае используются обозначения

двух точек, через которые прямая проходит.

На экране вы видите прямую a. На ней лежат точки M и N.

Прямая a может быть также обозначена как MN.

Плоскости. Плоскости обычно обозначают строчными греческими буквами   (альфа, бета, гамма, дельта, …)

Плоскости также можно называть по трем точкам, через которые плоскости проходят.

Например, на экране плоскость синего цвета обозначена как α, она же может называться ABC.

Плоскость бежевого цвета обозначена β, она же может быть обозначена как KLN или  KLM. Берутся любые три точки, через которые плоскость проходит.

Так же, как и в планиметрии, в стереометрии мы будем применять для точек знак:   (принадлежит плоскости), а для прямых знак:    (лежит в плоскости).

Перечеркнутые знаки  означают отрицание – не принадлежит плоскости, не лежит в плоскости.

На рисунке вы видите, что  две точки A и B  принадлежат плоскости α  (плоскость проходит через эти точки), а точки M, N, K не принадлежат этой плоскости  (плоскость не проходит через эти точки).

Коротко это записывается так:

Точка А принадлежит плоскости α, точка B принадлежит плоскости  α.

Точка M не принадлежит плоскости α, точка N не принадлежит плоскости α, точка K не принадлежит плоскости α.

На этом уроке мы познакомились с новым разделом геометрии – стереометрией.

Узнали, что основными понятиями стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Вспомнили, как изображаются точки и прямые. Узнали как изображается и обозначается плоскость.

Переходим к решению задач.

Задача 1.

Дано:

Точки A, B, C и D не лежащие в одной плоскости.

Указать плоскости, которым принадлежит:

а) прямая AB;

б) точка F;

в) точка C.

Решение.

а) Прямая AB  лежит в двух плоскостях: ABC и ABD;

б) Точка F принадлежит плоскостям: ABC и  BCD;

в) Точка C принадлежит трем плоскостям: ABC, BCD, ACD.

Дано:

Точки A, B, C и D не лежащие в одной плоскости.

Указать плоскости, которым принадлежит:

а) прямая AB;

б) точка F;

в) точка C.

Задача 2 (№6, Атанасян 10-11 класс)

Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

Доказательство.

Пусть  данные точки это А, В, С. Проведем через них плоскость (мы знаем что через любые три точки можно провести плоскость и при том только одну).

Тогда прямая АВ лежит в плоскости (АВС), следовательно отрезок АВ тоже лежит в плоскости (АВС). Аналогично Отрезки АС и ВС лежат в плоскости (АВС).

Дано: точки А, В, С лежат в одной плоскости

Доказать что отрезки АВ, АС, ВС лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Проведем через точки А, В, С плоскость (АВС)

Тогда прямая АВ   (АВС),  отрезок АВ   (АВС). Аналогично Отрезки АС и ВС лежат в плоскости (АВС).