Параллельные плоскости

Урок 6. Параллельные плоскости

Введем понятие параллельных плоскостей

Согласно аксиоме A3, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Отсюда следует, что плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точку.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если плоскости a  и b параллельны, пишут: a параллельно b

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если плоскости a и b параллельны, пишут: a параллельно b

Теорема (признак параллельности плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Рассмотрим две плоскости: a и  b .

В плоскости a лежат пересекающиеся прямые a₁ и b₁, а в плоскости b параллельные им пересекающиеся прямые a₂и  b₂.

Докажем, что a параллельно  b.

Доказательство. Рассуждаем методом от противного.

Предположим, что плоскости a и b не параллельны. Тогда существует прямая c, по некоторой они пересекаются.

Так как прямая a₁ параллельна прямой  a_{2 ,}  лежащей в плоскости b, то прямая a₁ параллельна плоскости b.

Аналогично, прямая b₁ параллельна плоскоcти b.

Теперь можно воспользоваться свойством прямой, параллельной плоскости.

Так как плоскость a проходит через прямую a₁, параллельную  другой плоскости b , и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей c будет параллельна прямой a₁,  т.е.c параллельно a

Но плоскость a проходит и через  прямую b₁, параллельную плоскости b, поэтому c параллельно b.

Таким  образом, через точку O₁ проходят две прямые a₁ и b₁ , параллельные прямой c.

Но это невозможно, через O₁ может проходить только одна прямая, параллельная с.

Теорема доказана.

Теорема (признак параллельности плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Задача 1. Три отрезка A₁A_2, B₁B₂ и C₁C_2,  не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости A₁B₁C₁ и  A₂B₂C₂ параллельны.

Дано:

Отрезки A₁A_2, B₁B₂ и C₁C₂ не лежат в одной плоскости

O – общая середина отрезков

Доказать: Плоскость A₁B₁C₁ параллельно плоскости A₂B₂C₂

Решение.

В  плоскости A₁B₁C₁возьмем  пересекающиеся отрезки A₁B₁ и A₁C₁ , а в плоскости A₂B₂C₂ – отрезки A₂B₂  и A₂C₂. Докажем, что они соответственно параллельны.

Рассмотрим четырехугольник A₁B₁A₂B₂.

Так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Поэтому A₁B₁параллельно A₂B₂

Аналогично из  четырехугольника A₁C₁A₂C₂  получим, что A₁C₁параллельноA₂C₂.

По признаку параллельности плоскостей,

A₁B₁C₁параллельноA₂BC₂

Ч.т.д.

Задача 1. Три отрезка A₁A_2, B₁B₂ и C₁C_2,  не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости A₁B₁C₁ и  A₂B₂C₂ параллельны.

Дано:

A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ не лежат в одной плоскости

O– общая середина

Доказать:A₁B₁C₁ параллельноA₂B₂C₂

Решение.

A₁B₁ A₁C₁ = A₁, A₂B₂пересекает A₂C₂ = A_2.  Докажем, что они соответственно параллельны.

Рассмотрим  A₁B₁A₂B_2.

Поэтому A₁B₁параллельно A₂B₂

Аналогично, в A₁C₁A₂B₂: A₁C₁параллельноA₂C₂

По признаку параллельности плоскостей,

A₁B₁C₁параллельноA₂BC₂

Ч.т.д.

Задача 2. Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P – середины отрезков BA, BC и BD соответственно.

а) докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см².

Дано:

B не лежит в плоскости ADC

M, N и P – середины BA, BC и BD

а)

MP – средняя линия  ABD

PN – средняя линия  BCD

MN – средняя линия  ABC

Средняя линия треугольника параллельна основанию.

Возьмем любые 2 стороны   , например MN и MP.

Они пересекаются и параллельны соответствующим сторонам   AC И AD, поэтому  .

б)

Средняя линия треугольника равна половине основания.

Стороны  MNP будут в 2 раза меньше сторон  ACD, т. е. пропорциональны им, и коэффициент пропорциональности k равен 0,5.

Углы ΔMNP соответственно равны углам ΔACD, так как стороны углов сонаправлены

Задача 2. Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P – середины отрезков BA, BC и BD соответственно.

а) докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см².