Параллельность трёх прямых

Параллельность трех прямых

Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.

 Если одна из двух параллельных прямых  пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость.

Текст

Лемма о параллельных прямых

Если одна из двух параллельных прямых  пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость.

Рассмотрим параллельные прямые а и b, одна из которых (прямая а) пересекает плоскость a. Докажем, что и прямая b пересекает эту плоскость, то есть имеют одну общую точку

Текст

Дано: a параллельно b 

Доказать: b и      имеют общую точку, причем она единственная

Картинка

1)Пусть прямая а пересекает плоскость в точке М. Прямые а и b лежат в одной плоскости, назовем её b. Плоскости a и b имеют общую точку М, значит, они пересекаются по прямой с.

2)Прямая с лежит в плоскости b и пересекает прямую а, значит она пересекает и параллельную ей прямую b в точке Р.

3) Прямая с лежит и в плоскости альфа. Поэтому точка Р принадлежит также плоскости альфа. Если предположить, что существует ещё одна точка, принадлежащая и прямой b  и плоскости альфа, то это означает, что прямая b лежит в этой плоскости и совпадает с прямой с и пересекает прямую а. А это противоречит условию. Точка Р – точка пересечения прямой b и плоскости альфа.

Что и требовалось доказать.

Картинка

Эта лемма поможет доказать теорему о параллельности трёх прямых в пространстве.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Текст

Теорема о параллельности трех прямых в пространстве

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Докажем эту теорему.

Пусть прямая а параллельна прямой с и прямая b  параллельна прямой с. Докажем, что а параллельна b.

Доказательство. Для этого нужно доказать, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

1) Отметим точку К на прямой b. Точка К и прямая а определяют плоскость, обозначим её     .

Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости.

2) Допустим прямая b не лежит, а пересекает эту плоскость. По лемме о параллельных прямых, прямая с, параллельная b, также пересекает эту плоскость. Но тогда и прямая а, параллельная с тоже пересекает плоскость альфа. Противоречие  с условием задания плоскости. Значит прямая b лежит в плоскости. Прямые а и b не пересекаются, так как иначе через точку их пересечения проходило бы две прямые, параллельные прямой с, что противоречит теореме параллельных прямых. Теорема доказана

Картинка

Решим задачу.

Задача 1

На рисунке точки M, N, Q и Р – середины ребер DP, DC, AC, AB. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD= 12 см,  BC= 14 см.

Картинка

Текст

Дано: М – середина BD

N – середина CD

Q – середина АС

P – середина АВ

АD = 12 см;  ВС = 14 см

Найти: P_MNQP .

Решение:

1) Рассмотрим треугольник  ВСD. Отрезок MN является средней линией, значит, он параллелен ВС.  Отрезок  QР – средняя линия треугольника АВС и параллелен ВС. По теореме о параллельности трех прямых, MN параллельно QР.  

2)МР – средняя линия треугольника   DВА, МР параллельно DА. Отрезок   NQ – средняя линия треугольника  АСD,   NQ параллелен   DА. Значит,   МР параллельно NQ. 

3)В четырехугольнике MNQP противоположные стороны попарно параллельны, значит, MNQP – параллелограмм.

4)Периметр параллелограмма MNQP равен удвоенной сумме смежных сторон. Длины этих сторон найдем как длины средних линий, равных половине параллельных сторон треугольника. MN равен половине ВС, 14:2 =7см,  МР равен половине DА, то есть  6 см. В результате периметр равен 26 см. Задача решена.

Картинка (если на разных экранах то тетраэдр дублируется)

Текст

Решение:

1) ΔВСD: MN – средняя линия, MN || ВС;

ΔАВС: QР – средняя линия, QР || ВС. Значит, MN || QР.  

2)Δ DВА: МР – средняя линия,  МР  || DА;

 ΔАСD: NQ – средняя линия, NQ || DА.

Значит,  МР  || NQ .

3)  из 1) и 2)  MNQP – параллелограмм.

4)   P_MNQP = 2(MN+ МР); MN=7(см), 

МР=  DA=6см.

P_MNQP= 2(7+ 6)=26см.

Ответ. P_MNQP= 26см.

Треугольники АВС и ABD не лежат в одно плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку СD, пресекает плоскости данных треугольников

 Запишем условие и построим чертеж  задачи.

Решение

Так по условию точка С принадлежит плоскости АВС а точка Д принадлежит плоскости АВД, то прямая СД пересекает плоскость АВС в точке С, а плоскость АВД в точке Д.

Тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми имеем что люба прямая параллельная АД пересекает плоскость треугольника АВС и плоскость треугольника АВД.

Текст:

Задача 2

Дано: ΔАВС и ΔАВD не лежат в одной плоскости

Доказать, что любая прямая, параллельная отрезку СD пересекает плоскости АВС и АВD

Картинка:

Текст:

Доказательство

Т.к. С  АВС и D  ABD,

 то CD  ABC=C и СD  ABD=D

(по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми)

Любая прямая || CD ABC и ABD