Прямоугольный параллелепипед

Геометрия10 класс

Материалы к уроку

  • 24. Прямоугольный паралелепипед.doc

    768.5 KBСкачать
  • 24. Прямоугольный параллелепипед (1).ppt

    1.35 MBСкачать

Конспект урока

 

Прямоугольный параллелепипед

Для изучения сегодняшней темы поговорим о незаменимом помощнике каждого школьника –ластике.

На экране изображение

 

 

 

Что можно сказать о форме ластиков?

Что бы анализировать форму предметов было удобно, перенесем их на чертёж.

Итак, первый ластик изобразим в форме фигуры  в основании которой  лежит прямоугольник, такой же прямоугольник  и в верхней параллельной плоскости. Боковые грани прямоугольники, причём противоположные грани, равные прямоугольники. Получилась вот  такая фигура. И нам она знакома –это параллелепипед.

 

У второго ластика лишь одно отличие. Две боковых грани ластика параллелограммы. И это тоже параллелепипед. В чём же тогда фокус?

 

Дело в том,  что оба ластика действительно демонстрируют геометрическую фигуру параллелепипед, но разные его виды. Давайте разберемся в подробностях.

 

 

Параллелепипед, ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. У такого параллелепипеда все грани прямоугольники.

Параллелепипед, ребра которого наклонены к  плоскости основания, под острым углом, называется наклонным параллелепипедом.

А прямой параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

 

 

 

 

 

 

На этом виде параллелепипеда мы и остановимся по подробней, так как это самая распространяя форма   окружающих нас предметов.

 

 

 

 

 

Посмотрите сами.

Книги, блок от компьютера, микроволновая печь и многое другое.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На экране изображение:

 

 

 

 

 

На экране таблица

 

 

 

 

Прямоугольный параллелепипед обладает рядом свойств.

 

Свойство 1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть  граней прямоугольники.

 

Для доказательства этого утверждения рассмотрим прямоугольный  параллелепипед АВСВA1B1C1D1. Его основаниями служат прямоугольники АВСD, A1B1C1D1, а боковые ребра АА1, ВВ1, СС1, DD1 перпендикулярны основаниям, значит ребро ВВ1 перпендикулярно ребру ВС и АВ, ребро DD1 перпендикулярно ребру АD и DС, то есть боковые грани параллелепипеда являются прямоугольниками. Что и требовалось доказать.

На экране текст:

Свойство 1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть  граней прямоугольники.

 

 

При этом грани параллелепипеда  образуют двугранные углы. Рассмотрим двухгранный угол ADD1C. Так как ребро DD1 перпендикулярно плоскости основания по определению прямоугольного параллелепипеда, значит ребра AD и DC перпендикулярны ребру угла и образуют линейный угол данного двухгранного угла. Но угол ADC по условию, значит и двухгранный угол  ADD1C также прямой. Аналогичное утверждение можно сформулировать для ещё одиннадцати двухгранных углов прямоугольного параллелепипеда. Значит, это свойство углов можно выделить как свойство номер 2. Итак  свойство 2–все двухгранные углы прямоугольного параллелепипеда –прямые.

 

 

 

 

 

 

 

 

На экране под изображением  текст:

Свойство 2. Все двухгранные углы прямоугольного параллелепипеда –прямые

Для следующего свойства  нужно вспомнить, что в пространстве прямоугольный параллелепипед характеризуется шириной, длиной и высотой. Длины этих трех ребер назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда

 

На экране изображение и текст:

 

Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

 

В силу этих изменений, для основания длину и ширину можно назвать измерениями прямоугольника. И свойство диагонали прямоугольника сформулировать так: квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

Это утверждение было доказано ранее.

 

На экране изображение  и текст:

 

А мы докажем, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

 

Мы уже сказали, что диагональ АС прямоугольника АВСD равна сумме квадратов ребер АВ  и ВС, но диагонали прямоугольника равны, значит квадрат диагонали DB равен сумме квадратов ребер АВ  и ВС.

 

Ребро ВВ1 по определению прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания, значит перпендикулярно диагонали основания DB и треугольник прямоугольный.  Значит, для треугольника справедлива теорема Пифагора.

 

Подставим в равенство значение диагонали DB и получим выражение.

 

Что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

Прямоугольники DD1B1B и АА1С1С равны, так как равны их стороны. Значит диагонали этих прямоугольников также равны, но они являются диагоналями прямоугольного параллелепипеда, следовательно справедливо утверждение – диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Это утверждение можно считать следствием доказанного свойства.

На экране текст:

Свойство 3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

 

На экране текст и изображение:

 

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

 

 

Следует отметить, что прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом. Грани такого параллелепипеда равные квадраты.

На экране изображение и текст:

Куб

 

Это прямоугольный параллелепипед,  у которого все три измерения равны (все ребра равные).

 

Рассмотрим применение доказанных свойств при решении задач.

Задача первая. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 11 см, 19 см  и  20 см.  Найдите диагональ параллелепипеда.

 

Построим указанный прямоугольный параллелепипед и обозначим его АВСВA1B1C1D1. Пусть диагональ ВС1 равна 11 см,

диагональ А1В равна 19 см,

диагональ DВ равна 20 см.

 

Для удобства обозначим три измерения прямоугольного параллелепипеда буквами а,b,c. А искомую диагональ буквой d. Тогда по свойству квадрат диагонали    будет равен выражению.

 

 

 

 

 

 

 

 

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника А1АВ справедливо равенство

 

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника С1СВ справедливо равенство

Составим систему из полученных равенств. Почленно сложим эти равенства. Получили удвоенную сумму квадратов трех измерений параллелепипеда.

А это есть диагональ  d . После преобразований выражения получили, что диагональ  равна 21 см.

 

 

 

На экране текст:

Задача1. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 11 см, 19 см  и  20 см.  Найдите диагональ параллелепипеда.

 

 

 

На экране изображение:

 

Дано: АВСВA1B1C1D1–пр. пар-д

ВС1 = 11 см, А1В = 19 см, DВ = 20 см.

Найти: D1В

 

 

 

 

.

Задача 2. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда АВСВA1B1C1D1, если АС1=12 см и диагональ ВD1 составляет с плоскостью грани АА1D1D угол в 30°, а с ребром DD1– угол  в 45°.

Изобразим данный параллелепипед.

Угол AD1В равен 30°, так как угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и проекцией этой прямой в данной плоскости. Так как ребро АВ перпендикулярно грани АА1D1D, то ребро АD1 проекция диагонали ВD1, то угол AD1В это угол между диагональю ВD1 и гранью АА1D1D.

 

Так как диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, значит диагональ ВD1 равна диагонали АС1 и равна 12 см.

 

Отрезок АВ равен 6 см, так как он лежит в прямоугольном  треугольнике D1AB против  угла 30 градусов и равен половине гипотенузы 12 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Треугольник BDD1 также прямоугольный, а косинус 45 градусов равен отношению прилежащего катета D1D к гипотенузе ВD1, то катет DD1 равен 12 косинусов 45 градусов и равен шести корням из двух. Нужно  заметить ,что этот треугольник равнобедренный и сторона BD равна стороне DD1.

 

Из прямоугольного треугольника BAD по теореме Пифагора получим, катет AD равен квадратному корню из разности квадрата гипотенузы BD и катета АВ и равен 6 см.

 

Таким образом, в прямоугольном параллелепипеде АВСВA1B1C1D1 измерения равны 6см, 6см, и 6 корней из двух см.

 

 

 

 

 

 

На экране текст:

Задача 2. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда АВСВA1B1C1D1, если АС1=12 см и диагональ ВD1 составляет с плоскостью грани АА1D1D угол в 30°, а с ребром DD1– угол в 45°.

 

 

 

 

Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!

  • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

    Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

  • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

    Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

  • Повысим успеваемость по школьным предметам

    Повысим успеваемость по школьным предметам

  • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

    Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ