Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов

Для изучения новой темы понадобится повторить теорему о трех перпендикулярах.

Если прямая а, проведенная на плоскости  α через основание О наклонной с, перпендикулярна её проекции в, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение двух векторов  это число.

Скалярное произведение векторов  и  обозначается так:   (произведение вектора а на вектор бэ).

Таким образом: 

(произведение вектора а на вектор бэ равно произведению модуль вектора а на модуль вектора бэ и на косинус угла между векторами а и бэ)

Справедливы утверждения:

1°. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Действительно, скалярное произведение вектора  A на  вектор  B равно произведению их длин на косинус угла между ними.  Но cos 90° = 0  следовательно  b= 0.

2°. Скалярный квадрат вектора (то есть скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить через произведение соответственных координат этих векторов:

скалярное произведение векторов  {х₁; у₁; z₁} и {х₂; у₂; z₂} выражается формулой:

 х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂    (скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответственных координат этих векторов).

Докажем утверждение:

Косинус угла α между ненулевыми векторами  {х₁; у₁; z₁} и {х₂; у₂; z₂}

 вычисляется по формуле:

 cos α =Косинус угла альфа равен частному от деления суммы произведений соответственных координат векторов, которые составляют угол альфа, на произведение длин, выраженных координатами этих векторов

косинус угла альфа равен частному от деления скалярного произведения векторов на произведение их длин.

Таким образом, подставив  вместо скалярного произведения вектора формулу  суммы произведений соответственных координат векторов х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂ , а также   заменив произведение длин векторов на произведение длин векторов, выраженных через координаты  

Получим: косинус угла альфа равен частному от деления скалярного произведения векторов на произведение их длин, отсюда следует, что косинус угла альфа равен частному от деления суммы произведений соответственных координат векторов, которые составляют угол альфа, на произведение длин, выраженных координатами этих векторов

Что и требовалось доказать.

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов и любого числа k справедливо следующее:

1°.  Скалярный квадрат вектора  всегда больше либо равен нулю

2.переместительный закон – от перестановки мест векторов в скалярном произведении скалярное произведение не меняется.

3 (распределительный закон – скалярное произведение суммы двух

Картинка

Косинус угла α между ненулевыми векторами  {х₁; у₁; z₁} и {х₂; у₂; z₂}

вычисляется по формуле:

 .

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4