Функция вида у= n√ x, их свойства и график

Алгебра11 класс

Материалы к уроку

  • 2. Функция вида у=v(n&x), их свойства и график.ppt

    1.55 MBСкачать
  • 2. Функция вида у=v(n&x), их свойства и график.doc

    778 KBСкачать

Конспект урока

 Функция вида  у= n√ x, их свойства и график

 

Рассмотрим функцию игрек равняется корень энной степени из икс при условии значение аргумента неотрицательно.

Пусть n=4. Построим в одной системе координат два графика функций игрек равняется икс в четвертой степени и игрек равняется корень четвертой степени из икс  

Внимательно рассмотрев графики и таблицы, можно заметить, что графики представляют собой ветвь параболы и симметричны относительно прямой у=х (игрек равен икс), так как на построенных  ветвях парабол есть точки, которые  симметричны друг другу относительно данной прямой. Так точка А графика функции игрек равен икс в четвертой степени  с координатами (1/2;1/16)  и точка А1 графика функции.

 Если рассмотреть точки  с координатами (2;16) и (16;2), (3;81) и (81;3), то заметим, что они также симметричны относительно прямой х=у. А точки с координатами (0;0) и (1;1) лежат на данной прямой и являются общими для парабол.

Значит, для любой точки (m;m в четвертой степени) на графике  игрек равно икс в четвертой степени есть ей симметричная точка ( m в четвертой степени; m)на  втором графике  относительно прямой у=х, справедливо будет и обратное утверждение.

Докажем следующую теорему:

Точки А (a;b) и В (b;a) симметричны относительно прямой у=х.

Доказательство: предположим, что a и b – отрицательные числа. Значит, точки А (a;b) и В (b;a) расположены в третьей координатной четверти.  А прямая у=х является биссектрисой первой и третьей координатных четвертей. На оси абсцисс отметим точку С (а;0), а на оси ординат точку

К (0; а) (рис.6).

Рассмотрим треугольники  СОА и КОВ: ОС=ОК=а по построению,

СА=ВК= b по построению,

Угол ACO равен углу BKO равен 90градусам

  , следовательно треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, 1)АО=ВО и следавательно треугольник АОВ равнобедренный.

2) угол COA равен углу KOB , и так как прямая у=х является биссектрисой угла СОК по построению, то и угол AOM равен углу BOM    и ОМ является биссектрисой  треугольника АОВ, а следовательно и осью симметрии для точек А и В. Аналогично проводится доказательство и при условии если a и b – положительны.

Сделаем вывод: график функции игрек равняется корень кубический из икса можно получить из графика функции игрек равняется икс в третьей степени, при x меньше 0 с помощью преобразования симметрии относительно  графика прямой игрек равняется икс. Таким же образом можно построить график функции игрек равняется корень шестой степени из икса при положительном икс с помощью преобразования симметрии графика функции игрек равняется икс в шестой степени, при положительном икс, относительно прямой игрек равняется икс. (рис.6а)

Обобщим полученные результаты: график функции игрек равен корень энной степени из икс, при x меньше или равно 0  и n – нечетное, симметричен относительно прямой  у=х  графику функции игрек равен икс в энной степени(рис.7)

Пример 1: Построить график функции игрек равняется сумме  корня третьей степени из икс минус один и двух

Для построения данного графика функции нам нужна вспомогательная система координат с началом в точке А (1;2) – пунктирные прямые  х′=1(икс штрих равен единице) и у′=2 (игрек штрих равен двум) на рис10. В новой системе координат построим график функции игрек равен корень третьей степени из икса).

Таблица

х

-8

-1

0

у

-2

-1

0

 

Это и будет график данной функции.

Пример 2.

Решите уравнение корень пятой степени из икса равен минус икс минус два

В одной системе координат построим графики двух функций игрек равняется корень пятой степени из икса

х

-32

-1

0

1

32

у

-2

-1

0

1

2

и у=-х-2(игрек равняется минус икс минус два)( графиком является прямая, которую построим по двум точкам)

х

-2

0

у

0

-2

(рис.11) графики пересекаются в точке В (-1;-1) (с координатами минус один, минус один). Значит, абсцисса данной точки х= -1  и есть корень данного уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!

  • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

    Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

  • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

    Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

  • Повысим успеваемость по школьным предметам

    Повысим успеваемость по школьным предметам

  • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

    Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ