• Главная
    • Наши репетиторы
    • ЕГЭ
    • Вопрос-ответ
    • Видеоуроки
    • Видеолекции для родителей
    • Обратная связь
    • Стоимость

репетиторы онлайн от проекта «ИнфоУрок»

Наши репетиторыЕГЭВопрос-ответСтоимостьВидеоуроки
Служба заботы о клиентах:+7 (495) 032 99 99
  • Главная
  • Видеоуроки

Другие темы

Все видеоуроки
  • Угол между прямой и плоскостью

    Угол между прямой и плоскостью

    ГеометрияДошкольники
  • Объем тел. Понятие объема

    Объем тел. Понятие объема

    ГеометрияДошкольники
  • Объем прямоугольного параллелепипеда

    Объем прямоугольного параллелепипеда

    ГеометрияДошкольники
  • Двугранный угол

    Двугранный угол

    ГеометрияДошкольники

Наши репетиторы

В каталог

    Теорема о трёх перпендикулярах

    ГеометрияДошкольники

    Материалы к уроку

    • 20. Теорема о трех перпендикулярах.doc

      319 KBСкачать
    • 20. Теорема о трёх перпендикулярах.ppt

      661.5 KBСкачать

    Конспект урока

    Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о трёх перпендикулярах.

    На прошлых занятиях вы уже познакомились с такими понятиями как: перпендикуляр к плоскости, наклонная, проекция, расстояние от точки до плоскости.

     

     

    Желательно, что бы картинка была анимированной, т.е. параллельно словам «перпендикуляр к плоскости» проводился перпендикуляр АВ , так же к словам «наклонная» - АС, «проекция» - СВ и «расстояние от точки до плоскости» - тоже АВ.

    А теперь попробуем провести прямую через основание наклонной перпендикулярно её проекции. Что можно сказать о данном перпендикуляре?

     

    Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на данную плоскость, то эта прямая будет перпендикулярна и к самой наклонной.

     

    Докажем, что прямая ДС перпендикулярна прямой АС:

    1.Известно, что прямая АВ перпендикулярна плоскости α, АС-наклонная к плоскости α, ВС-проекция наклонной АС,  прямая СД принадлежит плоскости альфа, а так же прямая СД перпендикулярна прямой ВС по построению.

    2.Рассмотрим плоскость АСВ: прямая ДС перпендикулярна прямой ВС по условию, а так как прямая АВ перпендикулярна плоскости альфа, значит прямая АВ будет перпендикулярна и прямой ДС, лежащей в этой плоскости (по теореме о перпендилурности прямой и плоскости).

    3.Прямая СД перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АВ и ВС, принадлежащим плоскости АВС, значит прямая будет перпендикулярна и самой плоскости АВС-по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

    4.Из признака  перпендикулярности прямой и плоскости  следует, что прямая ДС перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АВС, значит прямая ДС перпендикулярна прямой АС.

    Таким мы образом мы доказали, что прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к  ее проекции на эту плоскость, перпендикулярная к самой наклонной.

     

     

    Доказанное утверждение называется теоремой о трёх перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АВ, ДС и ВС.

     

     


                                               

     

     

     

     

     

    Желательно выделять прямые и плоскости, о которых говорится в доказательстве.

    Существует так же и обратная теорема:

    Если провести прямую в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, то данная прямая будет перпендикулярна и к ее проекции.

     

    Докажите эту теорему самостоятельно.

    Докажите эту теорему самостоятельно.

    Рассмотрим применение теоремы о трех перпендикулярах при решении задач.

    Задача1.

    Отрезок АД перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ =АС=5 см, ВС=6 см. АД=12 см.Найти расстояние от концов отрезка АД до прямой ВС.

    Решение:

    1.Дополнительное построение: проведем АЕ перпендикулярно ВС. Отрезок АЕ и будет расстоянием от точки А до прямой ВС.

    2. Так как треугольник АВС равнобедренный, то АЕ является высотой и медианой, значит ВЕ=ЕС=3 см

    3.Так как треугольник АЕС прямоугольный, то АЕ можем найти по теореме Пифагора:

    АЕ=√AC2-EC2   АЕ=√52-32, АЕ=4 см.

    4.Отрезок ВС перпендикулярен АЕ, вместе с тем отрезок ВС перпендикулярен DА(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), тогда по теореме о трех перпендикулярах  ВС перпендикулярен DЕ.

    5.Из прямоугольного треугольника ДАЕ найдем ДЕ по теореме Пифагора: ДЕ=√АЕ2+АД2, DЕ=√42+122=√160=4√10 см.

     

     

     

    Дано: ΔАВС-равнобедренный

    АВ=АС=5 см, ВС=6 см, АD=12 см.

    Найти: АЕ, DЕ.

    Решение:

    1.Д.п.АЕ┴ВС

    2.ΔАВС-равнобедренный→АЕ-высота и медиана→ ВЕ=ЕС=3 см

    3. АЕ=√AC2-EC2  АЕ=√52-32, АЕ=4 см.

    4.ВС┴АЕ, ВС┴DА→ВС┴ DЕ(по т.т.п.)

    5. DЕ=√АЕ2+АD2, DЕ=√42+122=√160=4√10 см.

    Ответ: АЕ=4 см. DE=4√10 см.

    Задача 2

    Прямая ВД перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно,  что ВД=9см, АС=10 см, ВС=ВА=13 см.Найти расстояние а)от точки Д до прямой АС

    б)площадь треугольника АСД.

    Решение:

    1.Проведём ВЕ перпендикулярно АС.

    2.Так как Треугольник АВС равнобедренный, то ВЕ –высота и медиана, значит СЕ=ЕА=5 см.

    3.ВД перпендикулярна АС, ВЕ перпендикулярна АС, то по теореме о трёх перпендикулярах ДЕ перпендикулярна АС.

    4.Расстояние от точки Д до прямой АС это отрезок ДЕ. Так как треугольник ВЕД прямоугольный, то по теореме Пифагора

    ДЕ=√ВЕ2+ВД2.

    В свою очередь ВЕ можно найти из прямоугольного треугольника СВЕ:

    ВЕ=√ВС2-ЕС2=√132-52=√169-25=12 см.

    Тогда ДЕ=√122+92=√144+81=15 см

    5.В треугольнике АСД: АС-основание, ДЕ-высота, тогда по формуле нахождения площади треугольника(половина произведения основания и высоты) найдем площадь треугольника АДС:

    SACD=1/2 АС*ДЕ=1/2*10*15=75см2

    Дано: ВD┴(АВС), ВD=9см

    АС=10 см, ВС=ВА=13 см

    Найти: DЕ, SACD

    Решение:

    1.Д.п. ВЕ┴АС

    2. ВЕ –высота и медиана , СЕ=ЕА=5 см.

    3. ВD┴АС, ВЕ┴АС→DЕ┴АС(по т.т.п.)

    4. ΔВЕD прямоугольный,

    DЕ=√ВЕ2+ВD2=√122+92=√144+81=15 см

    ВЕ=√ВС2-ЕС2=√132-52=√169-25=12 см.

    5. SACD=1/2АС*DЕ= 1/2 *10*15=75см2

    Ответ:DE=15см, SACD=75см2

     

    Сегодня мы расширили свои знания по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей», познакомились с теоремой о трёх  перпендикулярах, доказали ее, научились применять данную теорему при решении задач.

     

     

     

     

     

    Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

    • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

      Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

    • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

      Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

    • Повысим успеваемость по школьным предметам

      Повысим успеваемость по школьным предметам

    • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

      Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

    Выбрать репетитора

    репетиторы онлайн от проекта «ИнфоУрок»

    Резидент кластера информационных технологий Фонда «Сколково»

    Министерство Образования и Науки РФЛицензия на осуществление образовательной деятельности: №5201 от 02.04.2018

    © 2022 IU.RU Все права защищены.

    Разделы сайта

    Наши репетиторыПодготовка к ЕГЭВидеоурокиВопрос-ответСтоимостьЛичный кабинетПолезное родителям

    Техподдержка

    Обратная связьТелеграмinfo@iu.ru10:00 – 22:00 мск+7 (499) 229-88-88+7 (495) 032-99-99+7 (800) 775-50-70
    Регистрация для репетиторовИнструкция пользования сайтомСистемные требованияПользовательское соглашениеПолитика конфиденциальностиПравила пользования сайтом