Параллельные прямые в пространстве

Введём определение параллельных прямых в пространстве:

- Две прямые в пространстве называются параллельными, если

они лежат в одной плоскости и

и  не пересекаются

Рисунок параллельных прямых на плоскости

Текст

Две прямые в пространстве называются параллельными, если

1) они лежат в одной плоскости и

2) не пересекаются

Обозначение: a||b

Обозначаются параллельные прямые также как и в планиметрии

Рассмотрим куб.

Прямые АА₁ и СС₁ параллельны. Согласно определению, они лежат в одной плоскости  АА₁С и не пересекаются.

Рисунок куба с обозначенными вершинами

Прямые АА₁  и СС₁ выделятся на рисунке цветом.

Прямые АВ и ВВ₁ не параллельны, так как хоть они лежат в одной плоскости, но пересекаются в точке В.

Рисунок куба

Прямые АВ и ВВ₁ выделятся на рисунке цветом.

Прямые АВ и СС₁ не пересекаются и не лежат в одной плоскости, значит, не параллельны.

Рисунок куба

Прямые АВ и СС₁выделятся на рисунке цветом.

Вспомним из курса планиметрии аксиому параллельных прямых: «Через точку, не лежащую на данной  прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной».

Рисунок  прямой а и точки А, не лежащей на ней. В ходе чтения аксиомы появляется прямая b.

Аа, Аb, a||b, b – единственная

Аксиома поможет доказать теорему параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Текст

Теорема параллельных прямых

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Докажем эту теорему.

Рассмотрим прямую а и точку М, которая не лежит на этой прямой. Согласно следствию из аксиом стереометрии, через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна. Через точку М проведем прямую b, параллельную прямой а. Прямая b из условия параллельности лежит в одной плоскости с прямой а. Единственность этой прямой следует из аксиомы параллельных прямых из курса планиметрии. Прямая, параллельная данной  существует и она единственная.

Теорема доказана.

К предыдущему кадру добавить рисунок плоскости, на ней прямой а и точки М. В ходе чтения доказательства теоремы появляется прямая b.

Текст:

Доказательство:

 а и Ма,

По следствию из аксиом  через а и М проходит– единственная.

М b, b||a по опр. параллельных пр. пространства b.

Тогда по опр. параллельных прямых на плоскости b – единственная

Для решения задач потребуется определение параллельных отрезков.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Рисунок параллельных прямых, на которых отмечены отрезки АВ и CD

Текст

Определение

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

АВ || СD

Отрезки  АВ и СD параллельны

Задача

Параллельные прямые a и b лежат в плоскости . Докажите, что прямая c, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости .

Решение.

Так как прямая а лежит в плоскости альфа и прямая с пересекает прямую а, то точка их пересечения лежит в плоскости альфа.

Аналогично точка пересечения b и с лежи в плоскости альфа.

И по аксиоме А₂ (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в это плоскости) следует что прямая с лежит в плоскости альфа