Углы с сонаправленными сторонами

Углы с сонаправленными сторонами.

Для изучения сегодняшней темы нам необходимо вспомнить

Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм

Если FS=HG и FS||HG, то FSHG – параллелограмм

Любая прямая a, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая a называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Это одна из аксиом планиметрии.

Два луча OA и O₁A₁ в пространстве называются одинаково направленными (сонаправленными), если один из их содержит другой или они параллельны  и лежат в одной полуплоскости с границей OO₁.

???????????????????????

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

По условию теоремы нам даны углы АОВ и А₁О₁В₁ и известно что их стороны соответственно сонаправлены т.е. ОА и О₁А₁, ОВ и О₁В₁ – сонаправленные лучи

Доказать что данные углы равны

При доказательстве  ограничимся случая, когда углы лежат в разных плоскостях.

1.Стороны углов сонаправлены, а значит параллельны. Проведем через них плоскости  и  как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O₁ отложим отрезки O₁A₁ и O₁B₁ равные соответственно ОA  и OB.

2. В плоскости  a рассмотрим четырехугольник OAA₁O_1.

Так как  противолежащие стороны OA и O₁A₁ этого четырехугольника  равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник  – параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны  AA₁  и OO₁

3. В плоскости b, аналогично можно доказать, что OBB₁O₁ параллелограмм,  поэтому равны и параллельны стороны  ВВ₁  и OO₁

4. Если две отрезка  AA₁  и BB₁ равны параллельны третьему отрезку OO₁, значит они равны и параллельны, т. е. АА₁||BB₁ и AA₁ = BB₁.

По определению четырехугольник АВВ₁А₁ – параллелограмм и из этого получаем АВ=А₁В₁

5. из выше построенного и доказанного АВ=А₁В₁,  ОA =O₁A₁ и OB =O₁B₁ следуем что треугольники AOB и A₁O₁B₁. равны по трем сторонам, и поэтому  О=О₁

Теорема доказана

Текст

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Картинка

Текст

Дано: AOB и А₁О₁В₁, ОА и О₁А₁, ОВ и О₁В₁ – сонаправленные лучи

Доказать: О=О₁

Доказательство.

1.Стороны углов сонаправлены, а значит параллельны, через них можно провести плоскости  и .

Отметим на сторонах  O точки A и B.

На соответствующих сторонах O₁ отложим отрезки O₁A₁ = ОA  и O₁B₁ = OB.

2. В плоскости   рассмотрим OAA₁O_1.

3. В плоскости b  , аналогично можно доказать, что

OBB₁O₁ параллелограмм

4.

  и AA₁ = BB₁

ABB₁A₁–параллелограмм и АВ=А₁В₁

5. ΔAOB = ΔA₁O₁B₁. (АВ=А₁В₁,  ОA =O₁A₁, OB =O₁B₁) по трем сторонам, и поэтому О=О₁

Теорема доказана

Задача 1. Прямые OB и CD параллельны, а OA и CD – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми OA и CD

Решение.

Через точку D проведем прямую A₁D||AO.

Ответ 40

Задача 1. Прямые OB и CD параллельны, а OA и CD – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми OA и CD  

Задача 2.

Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK, не лежащие в одной плоскости. Стороны AB = 22,5 см, EK = 27,5 см.

 а) Выясните взаимное расположение  CD и EK.

б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность.

Решение.

а)

(теорема о трех параллельных прямых). 

б) Так как в трапецию  можно вписать окружность, то из свойства вписанной окружности: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны,  выполняется равенство:

AB + EK = AK +BE

Ответ: 100 см.

Задача 2.

Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK, не лежащие в одной плоскости.

а) Выясните взаимное расположение  CD и EK.

б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и AB = 22, 5 см, EK = 27,5 см.