Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление и единичный отрезок, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат и обозначаются так: Ох, Оy, Оz, имеют свои названия: ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат соответственно, а их общая точка – началом координат. Обычно она обозначается буквой О.

Вся система координат обозначается Охуz.

Если через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz  и Ох провести плоскости,  то такие плоскости будут называться координатными плоскостями и обозначаться: Оху, Оуz, Оzх соответственно.

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч — отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости.

Посмотрим, как это делается.

Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные осям координат, и обозначим через М₁, М₂ и М₃ точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат.

Первая координата точки М (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОМ₁, если М₁ - точка положительной полуоси;

х= - ОМ₁, если М₁ - точка отрицательной полуоси; х =0, если М₁ совпадает с точкой О.

Аналогично с помощью точки М₂ определяется вторая координата (ордината) у точки М,

а с помощью точки М₃ — третья координата (аппликата) z точки М.

Координаты точки М записываются в скобках после обозначения точки М (х; у; z).

Запомните, что  первой указывают абсциссу, второй – ординату, третьей — аппликату.

Задача 1.

Найдем координаты точек А, В, С, D, E, F, представленные на рисунке.

Проведем через точку А три плоскости, перпендикулярные к осям координат, тогда  точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат будут координатами точки А. Точка А имеет координаты: абсцисса = 9, ордината = 5, аппликата = 10 и записывается это так: А (9; 5;10).

Аналогично записываются координаты следующих точек:

 Точка В имеет координаты: абсцисса = 4, ордината = -3, аппликата = 6 

Точка С имеет координаты: абсцисса = 9, ордината = 0, аппликата = 0

Точка  имеет D  координаты: абсцисса = 4, ордината = 0, аппликата = 5 

Точка Е имеет координаты: абсцисса = 0, ордината = 8, аппликата = 0

Точка F имеет координаты: абсцисса = 0, ордината = 0, аппликата = -3  

В (4; -3; 6),

С (9; 0; 0),

D (4; 0; 5),

Е (0; 8; 0),

F (0; 0; -3).

Если точка М (х; у; z) лежит на координатной плоскости на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.

Если МЄОху (точка М принадлежит плоскости Оху), то аппликата точки М равна нулю: z=0.

Аналогично, если МЄОхz (точка М принадлежит плоскости Оxz), то у = 0, а если МЄОуz (точка М принадлежит плоскости Oyz), то х = 0.

Если МЄОх (точка М лежит на оси абсцисс) ордината и аппликата точки М равны нулю: у=о и z=0. В нашем примере это точка С.

Если МЄОу (точка М лежит на оси ординат), то х=0 и z=0. В нашем примере это точка Е.

Если МЄОz (точка М лежит на оси аппликат), то х = 0 и у = 0. В нашем примере это точка F.

Если все три координаты точки М равны нулю, то это значит, что М=О (0; 0; 0) – начало координат.

Задача 2

Даны координаты четырех вершин куба ABCDA₁B₁C₁D₁: A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); A₁(1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.

Решение:

Так как фигура — куб, то все стороны равны единице, все грани являются квадратами.

Точка С принадлежит плоскости Оху, то есть ее координата z равна нулю, координата х равна стороне СД и равна АВ, значит равна единице, координата игрек равна стороне куба СВ, значит равна АД и равна единице.

Аналогично, Точка В₁ принадлежи плоскости Охz, то еcть ее координата y равна нулю, координата х равна стороне координата х равна стороне А1B1 и равна АВ значит равна единице, координата зет равна стороне куба В В1значит равна АА1 и равна единице.

Точка Д₁ принадлежи плоскости Оуz, то еcть ее координата х равна нулю, координата у равна стороне А₁Д₁ и равна АД, значит равна единице, координата зет равна стороне куба А₁В₁ , значит равна АВ и равна единице.

Точка С₁ не принадлежит никакой плоскости, то еcть все координаты отличны от нуля, координата х равна стороне C₁D₁ и равна АB, значит равна единице, координата игрек равна стороне куба В₁С₁ , значит равна АД и равна единице, и координата зет равна стороне CC₁ , то есть AA₁ и также равна единице.

Задача 3.

Найдите координаты проекций точки C (; ; ) на координатные плоскости Oxy, Oxz, Oyz и координатные оси Ox, Oy, Oz.

Решение:

1) опустим перпендикуляры на плоскость Oxy — это CN, на плоскость Oxz – CL, и на плоскость Oyz прямая CR.

Таким образом, проекция точки С на плоскость Oxy это точка N и она имеет координаты икс равный минус корень из трех, игрек равен минус корень из двух на два, зет равнен нулю.

Проекция точки С на плоскость Oxz – это точка L и она имеет координаты икс равен минус корень из трех, игрек равен нулю, зет равен корень из пяти минус корень из трех.

Проекция точки С на плоскость Oyz – это точка R и она имеет координаты икс равен нулю, игрек равен минус корень из двух на два, зет равен корень из пяти минус корень из трех.

2)Из точки N проводим перпендикуляры на ось Ох – прямая NK, а на Оу – прямая NG, и на ось Оz проводим перпендикуляр из точки R – это прямая RP.

Проекция точки С на ось Ох – точка К имеет координаты икс равный минус корень из трех, а игрек и зет равны нулю.

Проекция точки С на ось Оy – точка G имеет координаты икс и зет равны нулю, игрек равен минус корень из двух на два.

Проекция точки С на ось Оz – точка P имеет координаты икс и игрек равны нулю, зет равный корень из пяти минус корень из трех.

Картинка

Текст

Прямые с выбранными на них направлениями, называются осями координат и обозначаются так: Ох, Оy, Оz, имеют свои названия: ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат соответственно, а их общая точка – началом координат. Обычно она обозначается буквой О.

Вся система координат обозначается Охуz.

Ох – абсцисса

Оу – ордината

Оz - аппликата

Плоскость Оху; плоскость Оуz; плоскость Оzх.

Картинка

Картинка

Картинка

Текст

М(х;у;z)

Найдем координаты точек А, В, С, D, E, F, представленные на рисунке.

Дано:Oxyz, A, B, C, D E, F

Найти: координаты точек

Решение:

А (9; 5;10),

В (4; -3; 6),

С (9; 0; 0),

D (4; 0; 5),

Е (0; 8; 0),

F (0; 0; -3)

Плоскость Оху

Плоскость Охz

Плоскость Оуz

Задача 2

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁– куб;

 A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); A₁(1; 0; 0).

Найти: координаты точек

Решение:

СОхуz=0, x=CD=AB=1, y=CB=AD=1:

C(1; 1; 0)

B₁Охzy=0, z =B₁A1=AB=1, х=B₁B=AA₁=1: B(1; 0; 1);

D₁Оyzx=0, y=A₁D₁=AD=1, z=DD₁=AA₁=1: D₁(0; 1; 1);

C₁: x=C₁D₁=AB=1; y=B₁C₁=AD=1; z=CC₁=AA₁=1: C₁(1; 1; 1);

Дано: С(; ; )

Найти: координаты проекции точки на Oxy, Oxz, Oyz; Ox, Oy, Oz.

1) NOxy, N(; ; 0)

LOxz, L(; 0; )

ROyz; R(0; ; )

2) KOx, K(; 0; 0)

GOy, G(0; ; 0)

POz, P(0; 0; )