Свойства параллельных плоскостей

Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

На экране появляется текст:

Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Рассмотрим плоскость a и параллельную ей плоскость бэта  и плоскость  y, которая пересекает плоскости a по прямой  а и плоскость b по прямым   b Докажем, что прямые a и b параллельны.

На экране изображение постепенное ( по одному появляются элементы чертежа

Предположим , что прямые пересекаются, значит они имеют общую точку, которая является общей точкой плоскостей a и b, что невозможно, так как плоскости по условию параллельны. Значит наше предположение неверно и прямые параллельны.

На экране изображение с постепенное появляющмимися пунктирными линиями и точкой

Рассмотрим второе свойство параллельных плоскостей. Свойство 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

На экране текст

Свойство 2: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рассмотрим плоскость  a и параллельную ей плоскость b, а также параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости.

Докажем, что отрезки АВ и СD, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

На экране изображение:

Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ.

γ пересекает плоскость a по прямой АС, а плоскость β  по прямой BD. Так как плоскости α и β по условию паралллеьны, то по доказанному свойству 1 прямые АС и BD паралллеьны.

Рассмотрим четырехугольник ABDC. В нём сторона АС паралельна стороне BD, сторона AB паралельна стороне CD, а четыреугольник у которого строны попарно паралллеьны называется параллелограммом.

По свойству паралллелграмма противоположные стороны AB и  CD равны. Что и требовалось доказать.

На экране изображение

Дан угол ВАС, плоскость α пересекает стороны угла в точках А₁ и B₁ соответственно, параллельная ей плоскость β пересекает стороны угла ВАС в точках А₂ и В₂ соответственно. Известно, что отрезок А₁А₂ равен 12 сантиметрам и  в два раза больше отрезка АА_1. Отрезок АВ₁ равен 5 см.

Найти отрезки АА₂ и АВ₂

Так как плоскости a  и b параллельны по условию и плоскость треугольника АВС, образованная углом ВАС, пересекает их по прямым A1B1 и A2B2, то по свойству параллельных плоскостей прямая A1B1  параллельна прямой A2B2 .

Рассмотрим плоскость  ВАС на отдельном чертеже.

Треугольник А₁АВ₁ подобен треугольнику А₂АВ₂ по двум углам. Значит стороны этих треугольников пропорциональны : сторона А₁А относится к стороне А₂А  также как сторона В₁А к стороне В₂А.

Известно , что АА₁ составляет половину стороны А₂А₁, значит она равна 6 см.

Сторона АА₂ равна сумме длин отрезков АА₁ и А₁А₂ и равен 18 сантиметрам.

Подставим найденные значения в пропорцию. Тогда отрезок AB2=16см

Получим ответ: отрезок АА₂ равен 18 см, а отрезок АВ₂ равен 15 см.

На экране изображение

Рассмотренные свойства параллельных плоскостей намного  упрощают решение многих геометрических задач.