Понятие цилиндра

Введем понятие цилиндра – геометрического тела.

Ну конечно, все вы видели много предметов в быту,  похожих на данное тело.

Рассмотрим окружность Р с центром О и радиусом r в плоскости α .Через каждую точку окружности  проведем прямые, перпендикулярные к плоскости α. Они параллельны друг другу.

Все прямые образуют поверхность, которая называется цилиндрической.

Каждая из этих прямых называется образующей цилиндрическую поверхность, а прямая, проходящая через центр окружности, – осью цилиндрической поверхности.

Далее проведем плоскость сигма, параллельную плоскости альфа,  таким образом, что они отделят отрезки образующих, которые равны и параллельны между собой.

В плоскости сигма получим окружность Р₁ .

Ось цилиндрической поверхности пройдет через центр О₁ окружности Р₁, радиус окружностей будет равный r. Таким образом, мы получили цилиндр.

Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами, лежащими в параллельных плоскостях.

Ось ОО₁ – называют осью цилиндра, отрезок образующей цилиндрической поверхности ТТ₁– образующая цилиндра.

Текст:

Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами, называется цилиндром.

Текст:

ОО₁–ось цилиндра

ТТ₁– образующая цилиндра

r– радиус цилиндра

Цилиндрическая поверхность, т.е. поверхность, составленная из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Картинка:

Длина  образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.

Картинка:

Текст:

радиус основания - радиусом цилиндра

длина  образующей – высотой цилиндра

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника  вокруг стороны ОО₁.

Картинка:

Показать вращение прямоугольника

Рассмотрим сечение цилиндра.

1) Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

2) Если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение является кругом.

Картинка:

Текст:

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник.

Картинка:

Текст:

Если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение – круг

Картинка:

Й28

Текст:

Если секущая плоскость под углом с оси, то сечение – эллипс. 

Теперь давайте посмотрим,  какие бывают цилиндры.

1) Прямые и наклонные, в зависимости от того, перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим.

2) Сложные цилиндры.

На первом рисунке

изображён цилиндр, каждое основание которого  представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком.

На втором рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не  перпендикулярны к плоскости оснований (наклонный цилиндр).

Картинка (схема):

Картинка:

Сложные цилиндры

Задача

Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Найти диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м.

Решение

1) так как АВ и CD – образующие то они равны и параллельны, и по определению образующих цилиндра АВ и CD перпендикулярны основанию.

AD и BC равны как диаметры оснований,

следовательно, четырехугольник ABCD по признаку параллелограмма и определению является прямоугольником.

2) Диагональ АС делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, тогда,

из прямоугольного треугольника АВС находим АС: по теореме  Пифагора АС равна корню квадратному из суммы квадратов сторон АВ и АС, где АВ равна высоте цилиндра, а ВС диаметру основания то есть двум радиусам.

Получаем АС равно 5 м.

Текст:

Дано: цилиндр, АВСD –осевое сечение цилиндра,  АВ иCD – образующие, BC  и AD– диаметры,

r=1,5м, h=4м.

1) Доказать, что АВСD– прямоугольник.

2) Найти: АС.

Картинка:

Текст:

Решение:

1) АB=CD, АВ||CD (образующие) AB AD, СD AD (образующая и диагональ основания),

 AD=BC (диаметры)

 АВСD– прямоугольник

2) ΔАВС –прямоугольный, АС–диагональ прямоугольника (гипотенуза),

BC= d =2r=3м.

АВ=h=4м

АС= = =5 м                      

Ответ: АС=5м.