Скорость при движении с постоянным ускорением. Уравнение движения с постоянным ускорением

Выясним зависимости скорости точки от времени при ее движении с постоянным ускорением. Для этого воспользуемся формулой: вектор ускорения равен отношению вектора изменения скорости к промежутку времени, в течение которого оно произошло.

Вектор изменения скорости равен разнице двух векторов: вектора скорости точки в начальный момент времени и вектора скорости точки в конечный момент времени. Интервал времени можно вычислить как разность между конечным и начальным моментом времени. 

Подставив эти выражения в формулу ускорения, получим, что ускорение равно отношению разности вектора скорости точки в начальный момент времени и вектора скорости точки в конечный момент времени к разности между конечным и начальным моментом времени.

Если начальный момент времени принять равным нулю, то получим, что вектор ускорения равен отношению разности вектора скорости точки в начальный момент времени и вектора скорости в конечный момент времени к значению времени. Из этой формулы мы можем выразить значение вектора скорости точки в любой момент времени.
Получаем, что вектор скорости точки равен сумме вектора начальной скорости точки и произведения вектора ускорения и времени.
Этому уравнению, записанному в  векторной форме, на плоскости соответствуют два уравнения для проекций на координатные оси  OX и OY: 
- проекция вектора скорости на ось ОХ равна сумме проекции на эту ось вектора начальной скорости и произведения проекции вектора ускорения на ось ОХ и значения времени;
- проекция вектора скорости на ось ОY равна сумме проекции на эту ось вектора начальной скорости и произведения проекции вектора ускорения на ось ОY и значения времени.
 По виду этих уравнений мы видим, что скорость при движении с постоянным ускорением меняется по линейному закону.
Для того чтобы определить скорость точки в любой момент времени надо знать его начальную скорость  и ускорение, с которым оно движется. Начальную скорость можно измерить. Ускорение зависит от того, как действуют на данное тело другие тела.
Начальная скорость зависит не от того, как действуют на данное тело другие тела в рассматриваемый момент времени, а от того, что происходило с этим телом ранее. К примеру, начальная скорость тележки, которая катится под горку, зависит от того, просто ее отпустили или же толкнули, совершив некоторое усилие.
  Совершенно противоположная ситуация с ускорением, оно не зависит от того, что происходило с телом в предыдущие моменты, а зависит только лишь от действия на него других тел в данный момент времени. Катящаяся под гору тележка затормозит или даже остановится, наехав на кочку. Ускорение, полученное тележкой, будет зависеть от того, какое воздействие окажет на нее кочка, то есть от величины кочки.
Зависимость проекции скорости от времени можно наглядно изобразить на графике. Горизонтальная ось - это ось времени, вертикальная – ось скорости. График имеет вид прямой выходящей из точки, определяемой значением начальной скорости в момент времени равный 0.   Если тело не имеет начальной скорости, то график зависимости проекции скорости на ось ОX от времени представляет собой прямую, выходящую из начала координат. На рисунке этот график показан в виде прямой 1 (эл). По этому графику можно найти проекцию ускорения на ось X: так как в данном случае начальная скорость равна нулю, то проекция ускорения будет равна отношению проекции скорости в какой-то момент времени к значению времени. Для определения значения этих величин можно выбрать любую точку и восстановить из нее перпендикуляры к осям. В нашем примере значение времени – 5 секунд, значение скорости – 30 м/с, подставив в формулу полученные значения, получаем, что ускорение равно 6 м/с2. 

 

Графики 2 и 3 соответствуют движениям тел с начальной скоростью отличной от нуля. График 2 соответствует равноускоренному движению, так как с течением времени скорость данного тела увеличивается.

График 3 направлен вниз, значит, значение скорости с течением времени уменьшается – это график равнозамедленного движения.
Угол между графиком и осью времени зависит от модуля вектора ускорения. Чем больше угол, тем быстрее изменяется скорость, и больше модуль вектора ускорения. На графике видно, что угол между графиком и осью времени у графика 1 меньше, чем у графика 2. Это означает, модуль вектора ускорения 2 графика больше модуля вектора ускорения 1 графика, значит 2 тело быстрее изменяет свою скорость.
Тела 2 и 3 движутся с одинаковыми по модулю ускорениями, потому что графики их движения образуют с осью времени одинаковые углы.
Теперь выведем уравнения, позволяющие рассчитывать положение точки для этого движения в любой момент времени.
   Предположим, что движение с постоянным ускорением совершается в одной плоскости, обозначим  плоскость ХОY. В том случае если вектор начальной скорости и вектор ускорения не лежат на одной прямой, то точка будет двигаться по кривой линии. Поэтому в этом случае с течением времени будут изменяться и координата х, и координата у. 
Обозначим через x0 и y0 координаты в начальный момент времени, а через х и у координаты в момент времени t. Тогда за время t изменение координаты x будет равно х-х0, а координаты y – y-y0.
Выразим значение координаты х в момент времени t: она равна сумме х0 и изменению координаты дельта х. Координата y в момент времени t: она  равна сумме y0 и изменению координаты дельта y.
 Значит, для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать ее начальные координаты и уметь находить изменения координат за время движения. 
Если движение происходит так, что проекция скорости изменяется со временем, величину дельта х, за время t можно найти следующим образом. Мы уже изучили, что при равномерном движении изменение координаты точки за время дельта t  можно определить с помощью графика зависимости скорости от времени по площади прямоугольника. Такой график изображен на рисунке. Длина отрезка ОС соответствует времени движения. Разделив его на малые интервалы времени, в этих пределах проекцию скорости будем считать постоянной и равной ее среднему значению. Теперь рассмотрим интервал дельта t1. Тогда перемещение на этом участке, и соответственно площадь заштрихованного прямоугольника численно равна изменению координаты точки за время t1. Сумма всех этих площадей численно равна изменению координаты точки за все время t. Чем сильнее мы уменьшим интервал дельта t, тем точнее будет результат. Если дельта t устремить  к нулю, то площадь фигуры АВСО будет стремиться к изменению координаты тела дельта х.
Если мы имеем дело с равноускоренным движением, то изменение координаты тела  численно равно площади трапеции АВСО. Длины оснований ОА и ВС этой трапеции численно равны проекциям начальной и конечной скоростей, а длина высоты ОС - времени движения.
По формуле для площади трапеции имеем: дельта х равно произведению полусуммы проекций начальной и конечной скорости на этом интервале времени и значения промежутка времени.
   Учитывая, что проекция вектора конечной скорости равна сумме проекции начальной скорости и произведения проекции ускорения и времени, получаем что дельта х равно сумме произведения проекции начальной скорости и времени и полусуммы произведения проекции ускорения и квадрата времени.
   Это пример, когда проекция вектора начальной скорости и проекция вектора ускорения положительны. Однако, она справедлива даже в том случае, если одна или обе величины отрицательны.
Изменение координаты дельта y можно найти таким же способом, и оно имеет аналогичный вид: дельта y равно сумме произведения проекции начальной скорости и времени и полусуммы произведения проекции ускорения и квадрата времени.

Подставив полученные значения изменения координат дельта x и дельта  y в выведенные ранее формулы, получим выражения для координат при движении с постоянным ускорением как функции времени (их еще иногда называют кинематическими уравнениями движения).
 Эти формулы часто применяют для описания как прямолинейного, так и криволинейного движения точки. Однако следует учитывать, что ускорение должно быть постоянным.
При движении точки в плоскости ХОY двум уравнениям  соответствует одно векторное уравнение: радиус-вектор точки равен начальному радиус-вектору плюс произведение вектора начальной скорости и промежутка времени плюс полусумма вектора ускорения и квадрата времени.
   Следует обратить внимание на то, что при помощи этих формул можно найти только лишь положение движущейся точки в любой момент времени. Для нахождения пути нужно значительно более подробно исследовать  траекторию, определить точки, в которых могло произойти изменение направления движения.
   Полученные уравнения вместе с формулами для проекций скорости дают возможность решать любую задачу о движении с постоянным ускорением.