Механические колебания. Математический маятник
Материалы к уроку
Конспект урока
Колебательные движения очень широко распространены в природе. Первыми учеными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей (1564...1642) и Христиан Гюйгенс (1629...1692). Полагают, что соотношение между длиной маятника и временем каждого качания открыл Галилей. Однажды в церкви он наблюдал, как качалась огромная люстра, и засекал время по своему пульсу. Позже он открыл, что время, за которое происходит один взмах, зависит от длины маятника - время наполовину уменьшается, если укоротить маятник на три четверти. После этого он задумался над закономерностями колебательного движения и стал изучать их. Но причиной, побудившей Галилея к изучению колебаний, мог бы стать и совсем другой эпизод, поскольку колебательное движение встречается очень часто. Например, колеблется ветка дерева, от которого оттолкнулась, взлетая, птица. Колеблется вода в стакане, который несли, а потом поставили на стол. Совершают колебания маятник настенных часов, детские качели, струны музыкальных инструментов, легкие предметы на поверхности воды.
Что же общего у всех этих примеров? Все тела повторяют свои движения. Качели, проделав путь от крайнего левого положения до крайнего правого и обратно, вновь совершают такой же путь. Такие движения называют периодическими. Механические колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени. Несложно заставить тело совершать повторяющиеся движения, то есть колебаться. Можно подвесить маленький шарик на нити. На рисунке а) шарик находится в положении равновесия. Нить вертикальна и сила тяжести, действующая на шарик, равна силе упругости. На рисунке б) шарик отклонили от положения равновесия и отпустили, он стал совершать колебания налево-направо, налево-направо до тех пор, пока колебания постепенно не затихли. Шарик, подвешенный на нити, — это простейший маятник. Надо обратить особое внимание на то, что для того, чтобы тело совершало колебания, необходимо наличие целой системы тел. В нашем примере шарик сам по себе не стал бы совершать колебательные движения, если бы не был привязан к нити и если бы на него не действовала сила притяжения со стороны Земли. Система тел, которая способна совершать колебания, называется колебательной системой. Наиболее простым видом колебаний являются свободные колебания. Свободными колебаниями называют колебания, которые совершает система под действием внутренних сил, после того как система выведена из положения равновесия и предоставлена самой себе. В системе созданы условия, при которых груз совершает дальнейшие колебательные движения без воздействия внешних сил, а только под воздействием внутренних сил. С течением времени колебания затухают, и груз останавливается, так как на тела системы всегда действуют силы трения. Чтобы колебания не затухали, следует их поддерживать. На тела системы должна действовать периодически изменяющаяся сила. Например, для того чтобы качели не останавливались, надо периодически их подталкивать. Но эти колебания уже не будут свободными, потому что они совершаются не только за счет внутренних сил системы, но и под действием внешней периодически изменяющейся силы. Такие колебания называют вынужденными.
Для того, чтобы в системе могли возникнуть свободные колебания, она должна обладать следующими свойствами:
‒ наличие состояния устойчивого равновесия;
‒ наличие внутренней силы, возвращающей систему в состояние равновесия;
‒ наличие инертности, благодаря которой она не остается в состоянии равновесия;
‒ малое трение.
Для примера рассмотрим колебания шарика, нанизанного на гладкий горизонтальный стержень под действием силы упругости пружины. На рисунке а) шарик находится в положении равновесия. Сила упругости пружины равна нулю, и шарик не двигается. Если сместить шарик из положения равновесия вправо, как на рисунке б), то длина пружины увеличиться, и на шарик начнет действовать сила упругости со стороны пружины. Если отпустить шарик, то под действием силы упругости он начнет двигаться с ускорением влево, увеличивая свою скорость. При этом сила упругости будет убывать, так как деформация пружины уменьшается. В момент, когда шарик достигнет положения равновесия, сила упругости пружины станет равной нулю. Следовательно, согласно второму закону Ньютона станет равным нулю и ускорение шарика. К этому моменту скорость шарика достигнет максимального значения. Не останавливаясь в положении равновесия, он будет по инерции продолжать двигаться влево. Пружина при этом сжимается. В результате появляется сила упругости, направленная уже вправо и тормозящая движение шарика рис. в). Эта сила, а значит, и направленное вправо ускорение увеличиваются по модулю прямо пропорционально модулю смещения х шарика относительно положения равновесия. Скорость же будет уменьшаться до тех пор, пока в крайнем левом положении шарика не обратится в ноль. После этого шарик начнет ускоренно двигаться вправо. С уменьшением модуля смещения х сила Fупр. убывает по модулю и в положении равновесия опять обращается в ноль. Но шарик уже успевает к этому моменту приобрести скорость и, следовательно, по инерции продолжает двигаться вправо. Это движение приводит к растяжению пружины и появлению силы, направленной влево. Движение шарика тормозится до полной остановки в крайнем правом положении, после чего весь процесс повторяется сначала. Если бы не существовало трения, то движение шарика не прекратилось бы никогда. При малом трении затухание становится заметным лишь после того, как шарик совершит много колебаний.
Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Можно считать математическим маятником небольшой грузик, подвешенный на длинной малорастяжимой нити. Когда маятник покоится в положении равновесия, то сила тяжести, действующая на его грузик и направленная вертикально вниз, уравновешивается силой натяжения нити. В отклоненном положении (рис. 15) сила тяжести Р действует под углом к силе натяжения F, направленной вдоль нити. Разложим силу тяжести на две составляющие: по направлению нити (Р2) и перпендикулярно к нему (P1). При колебаниях маятника сила натяжения нити F несколько превышает составляющую P2 — на величину центростремительной силы, которая заставляет груз двигаться по дуге. Составляющая же Р1 всегда направлена в сторону положения равновесия; она как бы стремится восстановить это положение. Поэтому ее часто называют возвращающей силой. По модулю Р1 тем больше, чем больше отклонен маятник. Выведем грузик из положения равновесия и отпустим. На него будут по-прежнему действовать две силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила упругости нити, направленная вдоль нити под углом к вертикали. Равнодействующая этих сил будет направлена к положению равновесия, под ее действием грузик начинает двигаться по дуге окружности к положению равновесия с нарастающей по модулю скоростью. Равнодействующая силы тяжести и силы упругости нити по мере движения уменьшается, и в момент, когда маятник проходит через положение равновесия, она становится равной нулю. В точке равновесия грузик не становится, а вследствие своей инертности продолжает движение, поднимаясь вверх. Равнодействующая действующих на груз сил постепенно увеличивается, поэтому модуль скорости маятника уменьшается. В момент остановки маятника в верхней точке модуль составляющей F
максимален и направлена эта составляющая в сторону положения равновесия. Далее скорость груза увеличивается по модулю, и он снова движется к положению равновесия. Пройдя точку равновесия, он возвращается в исходное положение. Рассматривая движение математического маятника, мы пренебрегали силой сопротивления воздуха. В реальной ситуации сила сопротивления препятствует движению и уменьшает скорость движения маятника. Поэтому максимальное смещение от положения равновесия грузика на нити с каждым следующим колебанием будет меньше предыдущего. Колебания математического маятника являются затухающими. Опустив маятник в сосуд с вязкой жидкостью, мы тут же обнаружим, что колебания не происходят совсем или затухают очень быстро. Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.
Что же общего у всех этих примеров? Все тела повторяют свои движения. Качели, проделав путь от крайнего левого положения до крайнего правого и обратно, вновь совершают такой же путь. Такие движения называют периодическими. Механические колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени. Несложно заставить тело совершать повторяющиеся движения, то есть колебаться. Можно подвесить маленький шарик на нити. На рисунке а) шарик находится в положении равновесия. Нить вертикальна и сила тяжести, действующая на шарик, равна силе упругости. На рисунке б) шарик отклонили от положения равновесия и отпустили, он стал совершать колебания налево-направо, налево-направо до тех пор, пока колебания постепенно не затихли. Шарик, подвешенный на нити, — это простейший маятник. Надо обратить особое внимание на то, что для того, чтобы тело совершало колебания, необходимо наличие целой системы тел. В нашем примере шарик сам по себе не стал бы совершать колебательные движения, если бы не был привязан к нити и если бы на него не действовала сила притяжения со стороны Земли. Система тел, которая способна совершать колебания, называется колебательной системой. Наиболее простым видом колебаний являются свободные колебания. Свободными колебаниями называют колебания, которые совершает система под действием внутренних сил, после того как система выведена из положения равновесия и предоставлена самой себе. В системе созданы условия, при которых груз совершает дальнейшие колебательные движения без воздействия внешних сил, а только под воздействием внутренних сил. С течением времени колебания затухают, и груз останавливается, так как на тела системы всегда действуют силы трения. Чтобы колебания не затухали, следует их поддерживать. На тела системы должна действовать периодически изменяющаяся сила. Например, для того чтобы качели не останавливались, надо периодически их подталкивать. Но эти колебания уже не будут свободными, потому что они совершаются не только за счет внутренних сил системы, но и под действием внешней периодически изменяющейся силы. Такие колебания называют вынужденными.
Для того, чтобы в системе могли возникнуть свободные колебания, она должна обладать следующими свойствами:
‒ наличие состояния устойчивого равновесия;
‒ наличие внутренней силы, возвращающей систему в состояние равновесия;
‒ наличие инертности, благодаря которой она не остается в состоянии равновесия;
‒ малое трение.
Для примера рассмотрим колебания шарика, нанизанного на гладкий горизонтальный стержень под действием силы упругости пружины. На рисунке а) шарик находится в положении равновесия. Сила упругости пружины равна нулю, и шарик не двигается. Если сместить шарик из положения равновесия вправо, как на рисунке б), то длина пружины увеличиться, и на шарик начнет действовать сила упругости со стороны пружины. Если отпустить шарик, то под действием силы упругости он начнет двигаться с ускорением влево, увеличивая свою скорость. При этом сила упругости будет убывать, так как деформация пружины уменьшается. В момент, когда шарик достигнет положения равновесия, сила упругости пружины станет равной нулю. Следовательно, согласно второму закону Ньютона станет равным нулю и ускорение шарика. К этому моменту скорость шарика достигнет максимального значения. Не останавливаясь в положении равновесия, он будет по инерции продолжать двигаться влево. Пружина при этом сжимается. В результате появляется сила упругости, направленная уже вправо и тормозящая движение шарика рис. в). Эта сила, а значит, и направленное вправо ускорение увеличиваются по модулю прямо пропорционально модулю смещения х шарика относительно положения равновесия. Скорость же будет уменьшаться до тех пор, пока в крайнем левом положении шарика не обратится в ноль. После этого шарик начнет ускоренно двигаться вправо. С уменьшением модуля смещения х сила Fупр. убывает по модулю и в положении равновесия опять обращается в ноль. Но шарик уже успевает к этому моменту приобрести скорость и, следовательно, по инерции продолжает двигаться вправо. Это движение приводит к растяжению пружины и появлению силы, направленной влево. Движение шарика тормозится до полной остановки в крайнем правом положении, после чего весь процесс повторяется сначала. Если бы не существовало трения, то движение шарика не прекратилось бы никогда. При малом трении затухание становится заметным лишь после того, как шарик совершит много колебаний.
Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Можно считать математическим маятником небольшой грузик, подвешенный на длинной малорастяжимой нити. Когда маятник покоится в положении равновесия, то сила тяжести, действующая на его грузик и направленная вертикально вниз, уравновешивается силой натяжения нити. В отклоненном положении (рис. 15) сила тяжести Р действует под углом к силе натяжения F, направленной вдоль нити. Разложим силу тяжести на две составляющие: по направлению нити (Р2) и перпендикулярно к нему (P1). При колебаниях маятника сила натяжения нити F несколько превышает составляющую P2 — на величину центростремительной силы, которая заставляет груз двигаться по дуге. Составляющая же Р1 всегда направлена в сторону положения равновесия; она как бы стремится восстановить это положение. Поэтому ее часто называют возвращающей силой. По модулю Р1 тем больше, чем больше отклонен маятник. Выведем грузик из положения равновесия и отпустим. На него будут по-прежнему действовать две силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила упругости нити, направленная вдоль нити под углом к вертикали. Равнодействующая этих сил будет направлена к положению равновесия, под ее действием грузик начинает двигаться по дуге окружности к положению равновесия с нарастающей по модулю скоростью. Равнодействующая силы тяжести и силы упругости нити по мере движения уменьшается, и в момент, когда маятник проходит через положение равновесия, она становится равной нулю. В точке равновесия грузик не становится, а вследствие своей инертности продолжает движение, поднимаясь вверх. Равнодействующая действующих на груз сил постепенно увеличивается, поэтому модуль скорости маятника уменьшается. В момент остановки маятника в верхней точке модуль составляющей F
максимален и направлена эта составляющая в сторону положения равновесия. Далее скорость груза увеличивается по модулю, и он снова движется к положению равновесия. Пройдя точку равновесия, он возвращается в исходное положение. Рассматривая движение математического маятника, мы пренебрегали силой сопротивления воздуха. В реальной ситуации сила сопротивления препятствует движению и уменьшает скорость движения маятника. Поэтому максимальное смещение от положения равновесия грузика на нити с каждым следующим колебанием будет меньше предыдущего. Колебания математического маятника являются затухающими. Опустив маятник в сосуд с вязкой жидкостью, мы тут же обнаружим, что колебания не происходят совсем или затухают очень быстро. Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.
Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ